Метод электрогидравлических аналогий

[klugl]

Метод впервые предложен Максвеллом. Суть его заключается в том, что гидравлическую схему можно представить в виде электрической цепи, заменив гидродинамические компоненты (насосы, задвижки, резервуары и т.д.) на электрические аналоги (источники тока, резисторы и т.д.). Для полной аналогии необходимо ещё учесть размерные коэффициенты. При этом происходит замена гидродинамических параметров (расход, давление и т.д.) на электрические (напряжение, ток и т.д.).
Обусловлено это тем, что уравнения, описывающие гидродинамические процессы в несжимаемой жидкости с точностью до констант совпадают с уравнениями Максвелла, описывающими электродинамические явления.

Именно поэтому уравнения для длинной электрической линии и для трубы с потоком жидкости идентичны

Система дифференциальные уравнений, описывающие связь электрических параметров в длинной линии с распределенными параметрами выглядит следующим образом:
\({\displaystyle -{\frac {\partial U}{\partial x}}=L{\frac {\partial I}{\partial t}}+RI}-{\frac {\partial U}{\partial x}}=L{\frac {\partial I}{\partial t}}+RI\)
\({\displaystyle -{\frac {\partial U}{\partial t}}={\frac {1}{C}}{\frac {\partial I}{\partial x}}}-{\frac {\partial U}{\partial t}}={\frac {1}{C}}{\frac {\partial I}{\partial x}}\),
где
\({\displaystyle U}\) — напряжение;
\({\displaystyle I}\) — сила тока;
\({\displaystyle L}, {\displaystyle R}, {\displaystyle C}\) — соответственно индуктивность участка цепи, активное сопротивление и ёмкость;
\({\displaystyle t}\) — время;
\({\displaystyle x}\) — координата.
Система уравнений для потока жидкости в трубе имеет похожий вид:
\({\displaystyle -{\frac {\partial P}{\partial x}}={\frac {\rho _{0}}{S}}{\frac {\partial Q}{\partial t}}+{\frac {2a}{S}}Q}-{\frac {\partial P}{\partial x}}={\frac {\rho _{0}}{S}}{\frac {\partial Q}{\partial t}}+{\frac {2a}{S}}Q\)
\({\displaystyle -{\frac {\partial P}{\partial t}}={\frac {\rho _{0}c^{2}}{S}}{\frac {\partial Q}{\partial x}}}-{\frac {\partial P}{\partial t}}={\frac {\rho _{0}c^{2}}{S}}{\frac {\partial Q}{\partial x}}\),
где
\({\displaystyle Q}\) — объёмный расход;
\({\displaystyle S}\) — площадь поперечного сечения трубы;
\({\displaystyle P}\) — давление;
\({\displaystyle c}\) — скорость звука;
\({\displaystyle \rho _{0}}\) — плотность жидкости;
\({\displaystyle a}\) — параметр трения.

а их физические величины подобны друг другу:

Трубопровод (гидравлические параметры)	Давление (\({\displaystyle P}\))	Расход (\({\displaystyle Q}\))	\({\displaystyle {\frac {2a}{S}}}\)	\({\displaystyle {\frac {\rho _{0}}{S}}}\)	\({\displaystyle {\frac {S}{\rho _{0}c^{2}}}}\)
Электрическая линия (электрические параметры)	Напряжение (\({\displaystyle U}\))	Сила тока (\({\displaystyle I}\))	Активное сопротивление (\({\displaystyle R}\))	Ёмкость (\({\displaystyle C}\))	Индуктивность (\({\displaystyle L}\))

где
\({\displaystyle S}\) — площадь поперечного сечения трубы;
\({\displaystyle c}\) — скорость звука;
\({\displaystyle \rho _{0}}\) — плотность жидкости;
\({\displaystyle a}\) — параметр трения.

На самом деле всё ещё интереснее

В реальности анaлогия ещё глубже. Поскольку гидродинамическая система и аналогичная ей электрическая цепь описываются одними и теми же системами дифференциальных уравнений, системы являются аналогичными не только по усреднённым параметрам процесса (например объёмный расход <-> сила тока), но и по мгновенным значениям параметров в точке. В частности, линии тока в жидкости могут быть рассчитаны так же как линии электромагнитного поля.

Для расчёта полученной электрической сети можно применить арсенал методов разработанных в рамках теории электрических цепей (от Закона Ома и правил Кирхгофа до векторных диаграмм). Полученные решения при обратном переходе будут верны и для исходной гидравлической сети.
Данный метод применим как для расчёт стационарных, так и для расчёт переходных процессов. Стоит однако помнить, что всё вышесказанное абсолютно корректно только для несжимаемых жидкостей. Если жидкость сжимаема, появляется неточность, обусловленная данной сжимаемостью.
В настоящее время данный метод также применяется для широкого круга задач, например для моделирования режимов работы центробежных насосов на основе электрогидравлической аналогии.
Ещё один пример - иллюстрация принципа работы параметрических методов обнаружения утечек.
Так же данный метод хорош своей доступность людям, не очень знакомым с гидродинамикой, но имеющих представление о расчёте электрических цепей.
Обобщённый метод гидравлических аналогий лежит в основе принципа работы гидравлического интегратора Лукьянова, который широко применялся в 40ые-70ые годы 20го века для решения разнообразных прикладных задач, описываемых уравнениями в частных производных: застывание бетона, расчёт растепления мерзлоты, застывание отливок, движение грунтовых вод и ряда других задач